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握手问题是组合数学中的经典模型，也是小升初奥数高频考点。其核心是组合数公式：若n人两两握手，总次数为。这类问题可延伸至比赛场次、钥匙配对等实际场景，需要孩子掌握分类讨论与逻辑转化能力。本文精选5类典型例题，从基础到拔高，助孩子搭建完整解题框架！文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/xiaoxueaoshusiweitazhan5leiwoshouwentiquangonglue30fenzhongchedizhangwo.html
一、基础握手模型
例题1（难度★☆）：有9个朋友聚会，见面时如果每个人和其余的每个人只能握一次手，那么9个人共握多少次手？
【分析】
每人需与8人握手，但每对握手被重复计算一次，故总次数为。
【解答】
（次）
答：共握手36次。
考点：直接应用组合数公式，注意消除重复计数。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/xiaoxueaoshusiweitazhan5leiwoshouwentiquangonglue30fenzhongchedizhangwo.html
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公式验证:第一个人握手8次（与其他8人握手）,第二个人握手7次（不用与第一个人握手了）,第三个人握手6次，第四个人握手5次，第五个人握手4次，第六个人握手3次，第七个人握手2次，第八个人握手1次，第九个人已经和所有人都握手了就不用再握手了，所以握手次数为：1+2+3+4+5+6+7+8＝36（次）文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/xiaoxueaoshusiweitazhan5leiwoshouwentiquangonglue30fenzhongchedizhangwo.html
二、比赛场次问题
例题2（难度★★）：学校举行乒乓球比赛，每5个同学一组，小组内每两个同学都要打一场，选拔积分最多的一个同学代表小组参赛．每小组内一共要打几场？
【分析】
单循环赛即每两人赛一场，转化为握手问题，场次=。
【解答】
（场）
答：共需10场比赛。
考点：将比赛转化为组合问题，公式。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/xiaoxueaoshusiweitazhan5leiwoshouwentiquangonglue30fenzhongchedizhangwo.html
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辅助理解：如果每两个同学之间都进行一场比赛，每个同学都要和其他的4人进行一场比赛，每个同学打4场，共有5×4＝20场比赛；由于每两个人之间重复计算了一次，实际只需打20÷2＝10场即可．文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/xiaoxueaoshusiweitazhan5leiwoshouwentiquangonglue30fenzhongchedizhangwo.html
三、家庭组合问题
例题3（难度★★★★）：在一场家庭聚会中，参加的父母都带一位小孩参加．已知每位父亲都与除了自己家人以外的每一个人握手；每位母亲彼此之间不握手，但与自己家人以外的每一个父亲与小孩握手：小孩间彼此不握手．如果共有10个家庭参加此聚会，那么这30人之间共握手多少次?
【分析】
需分四类计算：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/xiaoxueaoshusiweitazhan5leiwoshouwentiquangonglue30fenzhongchedizhangwo.html
-
父亲间：10人中选2人，次数= -
父亲与母亲：每位父亲与9位其他家庭的母亲握手，共 -
父亲与孩子：每位父亲与9位其他家庭的孩子握手，共 -
母亲与孩子：每位母亲与9位其他家庭的孩子握手，共
注意：母亲间不握手，孩子间不握手。
【解答】
总次数=
答：共握手315次。
考点：分角色分类讨论，排除无效组合。
四、循环赛积分推理
例题4（难度★★★★☆）：10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，无平局．其中有两队并列第一，两队并列第三，有两个队并列第五，以后无并列情况．请计算出各队得分。
【分析】文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/xiaoxueaoshusiweitazhan5leiwoshouwentiquangonglue30fenzhongchedizhangwo.html
-
总场次：场 → 总积分=分 -
得分假设：最高分17（9场全胜），最低分9（全败）。根据并列情况调整得分组合。
【解答】
-
总分： -
因为有两个第一名，最高得分最多为17分，最低得分至少为9分，如果按两个17分，两个16分，两个15分，其余分别为9、10、11、12分计算，
，多了3分 -
将第二名改为15分，第三名改为14分，第七名改为13分，则当然也可能是 -
所以各队的得分可能是：
；
．
答：得分可能为上述分布。
考点：积分转化（胜2负1）、极值分析、逻辑排除。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/xiaoxueaoshusiweitazhan5leiwoshouwentiquangonglue30fenzhongchedizhangwo.html
需要注意：因为两队并列第一，所以第三名的得分实际是第二高的分数．
五、统计矛盾验证
例题5（难度★★★）：体育课小组同学单打乒乓球比赛，小组长交来每人各打几场的统计数字．甲3场，乙5场，丙4场，丁4场，另外两名同学一个打了2场，另一个打了5场，这个统计数字正确吗？
【分析】
甲乙丙丁4人内部比赛理论场次=场，但这里要考虑重复，所以如果4个人相互对打的话，应该是（3+2+1）×2＝12场，现在甲乙丙丁共打了16场，多出的4场应该是和另外两个人打的，若都和剩下中的1人比赛，那么这人就要打4场比赛，这人再和另一人比赛他就打了5场比赛，而另一人只打了1场比赛，与2场相矛盾，据此解答．
【解答】
-
4个人相互对打，那么每人就打3场比赛，一共打： -
实际上甲乙丙丁打了： -
若都和剩下中的1人比赛，那么这人就要打4场比赛，这人再和另一人比赛他就打了5场比赛，而另一人只打了1场比赛，与2场相矛盾，所以统计的数字不正确．
答：统计数字不正确。
考点：比赛总场次守恒，矛盾推导。
考点总纲与技巧
-
核心公式：单循环次数=，双循环次数=。 -
分类技巧：角色分组（如家庭问题）、排除无效组合（如母亲不互握）。 -
高阶思维：积分极值法、统计矛盾法。 -
联想题型：钥匙配对（至多试次）、车票种类（往返算两种）。
结语：每天进步一点点
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