小升初压轴难点题型！掌握奥数“重叠问题”5大核心破题思维，孩子轻松拿高分！

重叠问题是小学奥数中的经典题型，核心在于处理多个集合或图形交叉时的重复计算问题，需运用容斥原理或几何面积分析。这类问题不仅考察逻辑思维，更是小升初考试中区分度极高的“拉分题”。掌握解题技巧，孩子能快速突破复杂应用题，提升数学思维力！

📝例题精讲与解析

练习一：
如图是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积．（单位：厘米）
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【分析】文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/xiaoshengchuyazhounandiantixingzhangwoaoshuzhongdiewenti5dahexinpotisiweihaiziqingsongna.html

由题意可知，两个直接梯形面积相同，他们共同减去相同叠加部分的面积仍然想等，即阴影部分的面积就等于空白的较大一点的梯形的面积。原梯形下底20cm，上底因重叠减少5cm，变为15cm，高8cm不变。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/xiaoshengchuyazhounandiantixingzhangwoaoshuzhongdiewenti5dahexinpotisiweihaiziqingsongna.html

【解答】文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/xiaoshengchuyazhounandiantixingzhangwoaoshuzhongdiewenti5dahexinpotisiweihaiziqingsongna.html

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答：阴影部分的面积是140平方厘米．文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/xiaoshengchuyazhounandiantixingzhangwoaoshuzhongdiewenti5dahexinpotisiweihaiziqingsongna.html

【题目总结】：阴影部分的面积就等于空白的较大一点的梯形的面积。几何图形平移重叠，利用梯形面积公式。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/xiaoshengchuyazhounandiantixingzhangwoaoshuzhongdiewenti5dahexinpotisiweihaiziqingsongna.html

练习二：
每边长是10厘米的正方形纸片，正中间挖了一个正方形的洞，成为一个宽1厘米的方框．把五个这样的方框放在桌面上，成为一个这样的图案（如图所示）．问桌面上被这些方框盖住的部分面积是多少平方厘米？
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【分析】文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/xiaoshengchuyazhounandiantixingzhangwoaoshuzhongdiewenti5dahexinpotisiweihaiziqingsongna.html

• 根据图形，先求出一个方框的面积，即．
• 每个重叠部分占的面积是一个边长为1厘米的正方形，重叠部分共有8个，因此桌面上被这些方框盖住的部分面积是：．

【解答】

单个方框面积=大正方形面积−中间挖洞面积：

5个方框覆盖总面积需减去8处1×1的重叠：

答：被盖住的面积是172平方厘米．

【题目总结】：每个重叠部分占的面积是一个边长为1厘米的正方形，重叠部分共有8个。重复覆盖的容斥思想，注意重叠边界的扣除。

练习三：
如图：是一个园林绿化的规划图，其中，长方形的是草地，圆的是竹林，竹林比草地多占地450平方米，问：水池占地多少平方米？

【分析】

• 长方形面积：水池占，草地占.可得长方形的面积是4份，草地的面积是3份，水池的面积是1份
• 圆面积：水池占，竹林占. 把圆的面积看作7份，竹林的面积是6份，水池的面积是1份
• 因为水池的面积是1份，进而可知竹林比草地多450㎡对应比例差份，每份㎡。

【解答】

答：水池占地150平方米．

【题目总结】：解题的关键是通过长方形的 是草地，圆的 是竹林得出水池的面积是1份，进而求出450平方米对应的份数是3份。分数与集合的交集关系，比例建模。

练习四：
六年级（1）班有45名同学，每人都报名参加了体育社团。其中足球小组有25人报名，篮球小组有20人报名，游泳小组有30人报名；足球小组、篮球小组都报名的有10人，足球小组、游泳小组都报名的有10人，篮球小组、游泳小组都报名的有12人。问：三个小组都报名的有多少人？

【分析】
三量重叠问题：A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数；据此解答即可。

【解答】

答：三个小组都报名的有2人。

【题目总结】：

1. 此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。

2. 容斥原理公式：
   ,其中为并，为交。

3. 解方程可能更好理解，设三组都报名人数为，根据容斥原理：

练习五：
求图中阴影部分的面积。（单位：cm）

【分析】


即：

【解答】

答：图中阴影部分的面积是151.38平方厘米。

【题目总结】：解答本题关键是利用重叠问题，确定三部分之间的面积关系。扇形面积叠加与覆盖扣除，几何分割法。

🔑核心技巧总结

1. 容斥原理：处理多集合问题时，牢记“加单层、减双层、加三层”的公式； 2. 比例建模：将分数关系转化为整数份数，快速定位重叠量；
2. 图形拆分：复杂图形分解为基本几何图形，计算后扣除重复部分；
3. 极端值验证：假设重叠为0或最大值，检验答案合理性。

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