《体积等积变换》专题突破 | 每天做道题，轻松逆袭数学尖子生！

体积的等积变形是小学奥数几何模块的核心考点之一，其核心思想是“形状改变，体积不变”。这类问题常通过排水法、熔铸、置换等手段，将复杂立体转化为规则图形进行计算。掌握这一技巧，能让孩子在竞赛中快速突破瓶型容器、组合体体积等高频难题。今天，我们精选3道经典题型，带您彻底攻克这一知识点！

📝 题目精讲与解析

题目1：胶水瓶的容积之谜（难度系数：★★☆☆☆）

题干：一个胶水瓶（如图），它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积为32.4π立方厘米。当瓶子正放时，瓶内胶水液面高为8厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米。
问：瓶内胶水的体积是多少立方厘米？文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/tijidengjibianhuanzhuantitupo-meitianzuodaotiqingsongnixishuxuejianzisheng.html

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🔍 分析：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/tijidengjibianhuanzhuantitupo-meitianzuodaotiqingsongnixishuxuejianzisheng.html

• 关键思路：正放时胶水体积为圆柱的8厘米部分，倒放时空余部分相当于高2厘米的圆柱体积。总容积=胶水体积+空余体积。
• 等积置换：无论正放还是倒放，胶水和空余部分的体积均不变。

📐 解答：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/tijidengjibianhuanzhuantitupo-meitianzuodaotiqingsongnixishuxuejianzisheng.html

1. 胶水高度占比：8厘米 / (8+2)厘米 = 4/5
2. 胶水体积：32.4π × 4/5 = 25.92π ≈ 81.3888立方厘米
   答案：81.3888立方厘米

💡 考点总结：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/tijidengjibianhuanzhuantitupo-meitianzuodaotiqingsongnixishuxuejianzisheng.html

• 体积比例法：利用液面高度比快速计算体积占比。
• 置换思想：瓶身不规则部分转化为规则圆柱处理。

题目2：水龙头与长方体铁块（难度系数：★★★☆☆）

题干：一个圆柱体的容器中，放有一个长方体铁块．现在打开一个水龙头往容器中注水，3分钟时，水恰好没过长方体的顶面，又过了18分钟，水灌满容器．已知容器的高度是50厘米．长方体的高度是20厘米，那么长方体底面积：容器底面面积等于多少？文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/tijidengjibianhuanzhuantitupo-meitianzuodaotiqingsongnixishuxuejianzisheng.html

🔍 分析：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/tijidengjibianhuanzhuantitupo-meitianzuodaotiqingsongnixishuxuejianzisheng.html

• 注水速度：前3分钟注水高度=20厘米（铁块高度），后18分钟注水高度=30厘米（剩余容器高度）。
• 时间与体积关系：理论注水时间比=20:30=2:3 → 实际注水时间比为3:18=1:6，说明铁块占据空间导致注水速度变化。
• 由于长方体占据了圆柱体容器的部分空间，由此可以推导出长方体底面积与容器底面积的比．

📐 解答：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/tijidengjibianhuanzhuantitupo-meitianzuodaotiqingsongnixishuxuejianzisheng.html

1. 理论注水时间：若无铁块，注满20厘米需时间=18×2/3=12分钟
2. 实际注水时间差：12-3=9分钟（注入长方体铁块所占空间的水要用时间）
3. 底面积比：已知长方体铁块高为20厘米，因此它们底的面积比等于它们的体积之比，而它们的体积比等于所注入时间之比，故长方形底面面积：容器底面面积＝9：12＝3：4

答案：长方体底面积与容器底面面积的比是3:4文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/tijidengjibianhuanzhuantitupo-meitianzuodaotiqingsongnixishuxuejianzisheng.html

💡 考点总结：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/tijidengjibianhuanzhuantitupo-meitianzuodaotiqingsongnixishuxuejianzisheng.html

• 排水法进阶：物体占据空间导致注水效率变化。
• 比例建模：时间与体积的正比关系。

题目3：大中小球的体积比例（难度系数：★★★★☆）

题干：一个容器装了3/4的水，现有大、中、小三种小球，第一次把1个中球沉入水中；第二次将中球取出，再把3个小球沉入水中；第三次取出所有的小球，再把1个大球沉入水中．最后将大球从水中取出，此时容器内剩下的水是最开始的2/9．已知每次从容器中溢出的水量情况是：第一次是第三次的一半；第三次是第二次的一半．求大、中、小三球的体积比。

🔍 分析：

• 变量设定：设容器总容积为1，小球体积为a，中球为b，大球为c。
• 溢出量方程：

  • 第一次溢出：3/4+b-1 = b - 1/4
  • 第二次溢出：3/4-(b-1/4)+3a-1=3a-b
  • 第三次溢出：3/4-(b-1/4)-(3a-b)+c-1=c-3a

📐 解答：

1. 剩余水量方程：

• 剩余水量3/4-(b-1/4)-(3a-b)-(c-3a)=1-c
• 列方程：1 - c = 2/9 × 3/4 → c = 5/6

2. 溢水量关系：

   • 2(b - 1/4) = c - 3a → 4b + 6a = 2c + 1
   • 2(c - 3a) = 3a - b → 9a - b = 2c
3. 解方程：得a=2/9，b=1/3，c=5/6 → 所以c：b：a=5/6：1/3：2/9=15:6:4
   答案：大、中、小三球的体积比15:6:4

💡 考点总结：

• 代数建模：通过溢水量建立多元一次方程。
• 体积守恒：容器总容积与物体体积的动态平衡。

🎯 核心技巧提炼

1. 体积不变原则：无论形状如何变化，熔铸、置换后的体积始终等于原体积。
2. 比例转换口诀：“高度比=体积比，底面积反比”。
3. 方程思想：复杂问题设变量，通过等量关系列方程。

🌈 结语：每日精进，积跬步至千里！

“体积等积变换”看似抽象，实则规律清晰。每天花10分钟练习一道题，孩子不仅能提升空间想象力，更能培养严谨的逻辑思维。关注“公式库”，帮助孩子数学轻松提分！🚀