【每日两题】奥数”等积变换”解题技巧，5题突破几何难关！轻松秒杀面积题！

等积变换是小学奥数几何模型的核心方法之一，通过保持面积不变的原理，将复杂图形转化为规则图形求解。它不仅是小学奥数高频考点，还与初中几何的相似三角形、全等三角形等知识紧密关联。掌握这一技巧，孩子能像搭积木一样拆解图形，轻松应对各类竞赛题！

例题精讲（按难度排序）

🌟基础题：体积守恒法（难度：★☆☆）

题目1
把一块棱长12分米的正方体钢坯，熔铸成截面是9平方分米的长方体钢材，铸成的钢材长度是多少？文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/meiriliangtiaoshudengjibianhuanjietijiqiao5titupojihenanguanqingsongmiaoshamianjiba.html

分析
体积守恒是等积变换的延伸：无论形状如何变化，材料体积不变。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/meiriliangtiaoshudengjibianhuanjietijiqiao5titupojihenanguanqingsongmiaoshamianjiba.html

解答文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/meiriliangtiaoshudengjibianhuanjietijiqiao5titupojihenanguanqingsongmiaoshamianjiba.html

1. 正方体体积：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/meiriliangtiaoshudengjibianhuanjietijiqiao5titupojihenanguanqingsongmiaoshamianjiba.html

   
   

2. 长方体长度：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/meiriliangtiaoshudengjibianhuanjietijiqiao5titupojihenanguanqingsongmiaoshamianjiba.html

   
   

答案：192分米文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/meiriliangtiaoshudengjibianhuanjietijiqiao5titupojihenanguanqingsongmiaoshamianjiba.html

🌟中等题：平行线等积法（难度：★★☆）

题目2
如图所示，已知图中一大一小正方形的边长分别是6和4，则图中阴影部分的面积是多少？
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分析

连接，则，则三角形与三角形等底等高，面积也相等，三角形的面积等于小正方形面积的一半。利用平行线间等底等高,三角形面积相等的原理：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/meiriliangtiaoshudengjibianhuanjietijiqiao5titupojihenanguanqingsongmiaoshamianjiba.html

• ⇒ 与等积

解答
阴影面积 = 小正方形面积的一半：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202503/meiriliangtiaoshudengjibianhuanjietijiqiao5titupojihenanguanqingsongmiaoshamianjiba.html

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答案：8

🌟中高题：扇形替换法（难度：★★★）

题目3
如图所示，正方形ABCD、GCEF边长分别为3和5，以C为圆心、以GC为半径画弧．求：阴影部分AEG的面积（π取3.14）．

分析
连接、，则三角形与三角形等底等高，面积也相等，根据等量变换，则阴影部分的面积等于扇形的面积.利用平行线间三角形等积与扇形面积公式：

• ⇒ 与等积 ⇒ 阴影面积=扇形CEG面积

解答

答案：19.625

🌟高难题：相似比例法（难度：★★★★）

题目4
已知四边形ABCD是正方形，边长为3，BE＝1.5，AF＝1，求阴影部分的面积（如图）。

分析
通过相似三角形比例关系与面积差求解：

1. 延长交于
2. 三角形AFG相似于三角形BFC，比例为，可知
3. 三角形相似于三角形，比例为，可知的高是高的三倍．若的高为，则，，可知h．
4. 阴影部分面积等于三角形的面积减去三角形的面积，代入数值，即可得解．

解答

答案：2.4375

🌟压轴题：综合模型法（难度：★★★★★）

题目5
如图，E为正方形ABCD的边AB的延长线上一点，F为线段DE上一点，FA交BC于点G、ED交BC于点H，已知S△FBE＝50，S△FCE＝75，S△FBC＝175

（1）直接写出BH：HC；

（2）求S△ABF；

（3）求正方形ABCD的面积；

（4）求梯形AGHD的面积．

1.解答前先看知识拓展

燕尾模型（又称燕尾定理）是小学奥数几何模型中的核心内容，属于三角形面积比例与线段比例关系的转化工具。其名称来源于图形形状类似燕子的尾巴。

• 核心场景：在任意三角形内，存在一点连接三个顶点，形成三个小三角形（称为“燕尾”），通过面积比与线段比的关系解题。
• 图形特征：
  ① 三角形内部有一个点；
  ② 该点与三个顶点相连，形成三组共边三角形。

记忆口诀：共边三角形面积比等于被截线段比。

2.分析

综合应用燕尾模型(先看知识拓展)与金字塔模型：

1. 第1问通过燕尾模型即可求解.
   
2. 第2问只要将第1问中的比例转换到
3. 第3问根据第2问即可求解．
4. 第4问中需要求出三角形．

燕尾模型求比例 → 金字塔模型转换 → 面积叠加

3.解答

1. 根据燕尾模型可知

答案：

3. 正方形面积
4. 梯形面积

本题是几何问题的综合应用，考查燕尾模型，金字塔模型，直线间的比例关系等，综合题型需要有扎实的集合基本功．建议拔高同学做此类题型．

📝考点总结与技巧提炼

1. 核心原理：

   • 等积变形：平行线间三角形等积
   • 体积守恒：形状变化，体积不变
   • 模型应用：燕尾模型、相似三角形模型

2. 解题技巧：

   • 连辅助线：构造平行线或中位线
   • 比例转化：相似三角形边长比=面积比平方
   • 模型联想：遇中点想一半模型，遇交叉线想燕尾模型

3. 联想拓展：

   • 小学等积变换 → 初中相似三角形、全等三角形
   • 体积守恒 → 物理中的质量守恒

🎯总结

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