注册电气工程师之公共基础数学运算律,向量运算律

注册电气工程师公共基础数学运算律

• 交换律 α·β=β·α
• 分配律 α·（β+γ）=α·β+α·γ
• 结合律 λ（α·β）=（λα）·β=α·（λβ）

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1）|α×β|=|α|·|β|sinφ，其中φ为α与β的夹角。2）（α×β）⊥α，（α×β）⊥β，且α，β，α×β构成右手系。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/zhucedianqigongchengshizhigonggongjichushuxueyunsuanluxiangliangyunsuanlu.html

α×β=文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/zhucedianqigongchengshizhigonggongjichushuxueyunsuanluxiangliangyunsuanlu.html

• 反交换律 α×β=-β×α
• 与数乘运算的结合律 λ（α×β）=（λα）×β=α×（λβ）
• 分配律 α×（β+γ）=α×β+α×γ
• 设

混合积 （α，β，γ）=（α×β）·γ=三重积，又称混合积，是三个向量相乘的结果。向量空间中，有两种方法将三个向量相乘，得到三重积，分别称作标量三重积和向量三重积。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/zhucedianqigongchengshizhigonggongjichushuxueyunsuanluxiangliangyunsuanlu.html

表示以α,β,λ为棱的平行六面体体积。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/zhucedianqigongchengshizhigonggongjichushuxueyunsuanluxiangliangyunsuanlu.html

数量积又叫“点乘”,就是两个向量之间的乘号是“·”,得到的积是个实数,不再是向量了.文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/zhucedianqigongchengshizhigonggongjichushuxueyunsuanluxiangliangyunsuanlu.html

向量积又叫“叉乘”,就是两个向量之间的乘号是“X”,得到的积是个向量.文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/zhucedianqigongchengshizhigonggongjichushuxueyunsuanluxiangliangyunsuanlu.html

求二阶行列式的值：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/zhucedianqigongchengshizhigonggongjichushuxueyunsuanluxiangliangyunsuanlu.html

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求三阶行列式的值：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/zhucedianqigongchengshizhigonggongjichushuxueyunsuanluxiangliangyunsuanlu.html

证明

利用行列式的特性，可知顺序置换向量的位置不影响标量三重积的值：

证明

以 b和 c来表示底面的边，则根据叉积的定义，底面的面积A为A =|b||c| sinθ =|b × c|，其中θ是b与c之间的角，而高h 为h=|a|cos α，其中α是a与h之间的角。

α的大小限定为0°≤α≤90°，而向量b×c与a之间的角β则有可能大于90°（0°≤β＜180°）。也就是说，由于b×c与h平行，β的值要么等于α，要么等于180°-α。因此：

cosα=±cosβ=|cosβ|，且h=|a||cosβ|

我们得出结论：

向量三重积

向量三重积是三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到的叉积，其结果是个向量。

定义

对于三个向量a，b，c，向量三重积的定义为a×（b×c）

值得注意的是，一般来说：a×（b×c）≠（a×b）×c

特性

以下恒等式，称作三重积展开或拉格朗日公式，对于任意向量a，b，c

均成立：

a×（b×c）=b（a·c）-c（a·b）

（a×b）×c=-c×（a×b）=-a（c·b）+b（c·a）

英文中有对于第一式有助记口诀BAC-CAB (BACK-CAB，后面的出租车)

后两式总结：

两个分项都带有三个向量 （a，b，c）。

三重积一定是先做叉积的两向量之线性组合。

中间的向量所带的系数一定为正（此处为向量b）。

在向量分析中，有以下与梯度相关的一条恒等式：

Δ=dδ+δd这是一个拉普拉斯－德拉姆算子的特殊情形。