克莱姆法则，译克拉默法则（Cramer's Rule）求解线性方程组

2022年5月27日10:17:15数学评论2022年5月27日

克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理

概念

在引入克莱姆法则之前，先引入有关n元线性方程组和有关矩阵、行列式的概念。含有n个未知数的线性方程组称为n元线性方程组。

当其右端的常数项b₁,b₂,...,b_n不全为零时，线性方程组⑴称为非齐次线性方程组。

令文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/kelaimufazeyikelamofazecramers-ruleqiujiexianxingfangchengzu.html

其中A是线性方程组的系数矩阵，X是由未知数组成的列向量，β是由常数项组成的列向量。线性方程组⑴的矩阵形式为AX=β文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/kelaimufazeyikelamofazecramers-ruleqiujiexianxingfangchengzu.html

当常数项全为零时，线性方程组⑵称为齐次线性方程组，即：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/kelaimufazeyikelamofazecramers-ruleqiujiexianxingfangchengzu.html

系数构成的行列式称为该方程组的系数行列式D，即文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/kelaimufazeyikelamofazecramers-ruleqiujiexianxingfangchengzu.html

定理

记法1：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0。有唯一解，其解为

记法2：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组⑴有唯一解，其解为

其中D_j是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。

记法1是将解写成矩阵（列向量）形式，而记法2是将解分别写成数字，本质相同。

证明

充分性：设A可逆，那么显然X₀=A^-1β是AX=β的一个解。又设X₁是AX=β其他不为X₀的解，即AX₁=β。两边同时左乘A^-1得文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/kelaimufazeyikelamofazecramers-ruleqiujiexianxingfangchengzu.html

上面两式矛盾，因为不存在其他不为X₀的解，故X₀=A^-1β是唯一的一个解。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/kelaimufazeyikelamofazecramers-ruleqiujiexianxingfangchengzu.html

必要性：设AX=β的唯一解X_0。如A不可逆，齐次线性组AX=O就有非零解Y₀，文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/kelaimufazeyikelamofazecramers-ruleqiujiexianxingfangchengzu.html