克莱姆法则，译克拉默法则（Cramer’s Rule）求解线性方程组

令

其中A是线性方程组的系数矩阵，X是由未知数组成的列向量，β是由常数项组成的列向量。线性方程组⑴的矩阵形式为AX=β

当常数项全为零时，线性方程组⑵称为齐次线性方程组，即：

 系数构成的行列式称为该方程组的系数行列式D，即

充分性：设A可逆，那么显然X₀=A^-1β是AX=β的一个解。又设X₁是AX=β其他不为X₀的解，即AX₁=β。两边同时左乘A^-1得

上面两式矛盾，因为不存在其他不为X₀的解，故X₀=A^-1β是唯一的一个解。

必要性：设AX=β的唯一解X_0。如A不可逆，齐次线性组AX=O就有非零解Y₀，

X0+Y0也是AX=β的一个解，矛盾，故可逆，证毕。

具体例子

比如有这么一个方程组：

把等号左边的每一项的系数写成行列式：

先计算D的结果，如果D=0说明方程无解。如果有解，继续：

把等号右边的答案写成一栏：

把右侧答案栏替换系数的行列式x栏，就得到Dx行列式

同样，把答案栏分别替换到系数行列式的y栏与z栏，分别得到 Dy,Dz行列式

最后求解三个未知数的公式就是: