观察、搜集已知事实，从中发现具有规律性的线索，用以探索未知事件的奥秘，是人类智力活动的主要内容.数学上有很多材料可用以来模拟这种活动、培养学生这方面的能力。
例1 观察数列的前面几项，找出规律，写出该数列的第100项来?
12345，23451，34512，45123，…
解：为了寻找规律，再多写出几项出来，并给以编号：
仔细观察，可发现该数列的第6项同第1项，第7项同第2项，第8项同第3项，…也就是说该数列各项的出现具有周期性，他们是循环出现的，一个循环节包含5项.
100÷5=20.
可见第100项与第5项、第10项一样(项数都能被5整除)，即第100项是51234。
例2 把写上1到100这100个号码的牌子，像下面那样依次分发给四个人，你知道第73号牌子会落到谁的手里?
解：仔细观察，你会发现：
分给小明的牌子号码是1，5，9，13，…，号码除以4余1;
分给小英的牌子号码是2，6，10，14，…，号码除以4余2;
分给小方的牌子号码是3，7，11，…，号码除以4余3;
分给小军的牌子号码是4，8，12，…，号码除以4余0(整除).
因此，试用4除73看看余几?
73÷4=18…余 1
可见73号牌会落到小明的手里.
这就是运用了如下的规律：
用这种规律预测第几号牌子发给谁，是很容易的，请同学们自己再试一试。
例3 四个小动物换位，开始小鼠、小猴、小兔和小猫分别坐在1、2、3、4号位子上(如下图所示).第一次它们上下两排换位，第二次左右换位，第三次又上下交换，第四次左右交换.这样一直交换下去，问十次换位后，小兔坐在第几号座位上?
解：为了能找出变化规律，再接着写出几次换位情况，见下图.
盯住小兔的位置进行观察：
第一次换位后，它到了第1号位;
第二次换位后，它到了第2号位;
第三次换位后，它到了第4号位;
第四次换位后，它到了第3号位;
第五次换位后，它又到了第1号位;
…
可以发现，每经过四次换位后，小兔又回到了原来的位置，利用这个规律以及10÷4=2…余2，可知：
第十次换位后，小兔的座位同第二次换位后的位置一样，即在第二号位。
如果再仔细地把换位图连续起来研究研究，可以发现，随着一次次地交换，
小兔的座位按顺时针旋转，
小鼠的座位按逆时针旋转，
小猴的座位按顺时针旋转，
小猫的座位按逆时针旋转，
按这个规律也可以预测任何小动物在交换几次后的座位。
